🎧 听讲解
先听一遍知识点讲解，再做下面的题～（音频只讲解，不含答案）
📘 今日知识点
把一个大正方体的六个面全部涂上颜色，再按照等分线把它切成许多个一样大的小正方体。这时候，每个小正方体身上涂了几面颜色，只跟它原来在大正方体里的"位置"有关，跟它在哪一条棱、哪一个面上没有关系。
位置一共可以分成四类。第一类在顶点上，正方体一共有 8 个顶点，这些小方块露在外面的面有 3 个，所以是三面涂色。第二类在棱上但不在顶点上，正方体有 12 条棱，这些小方块只露出 2 个面，是两面涂色。第三类在面的中间，既不在棱上也不在顶点上，只露出 1 个面，是一面涂色。第四类完全藏在里面，一个面都没有露出来，就是没有涂色。
那每一类到底有多少块呢？假设每条棱被平均分成 n 份。一条棱上本来有 n 块，可两头的两块是顶点，要去掉，所以每条棱上"两面涂色"的有 (n-2) 块，12 条棱一共是 12×(n-2) 块。一个面上"一面涂色"的正好排成一个 (n-2) 乘 (n-2) 的正方形，6 个面一共是 6×(n-2)×(n-2) 块。藏在最里面的，正好是一个每条棱有 (n-2) 块的小正方体，一共是 (n-2)×(n-2)×(n-2) 块。
举个例子：每条棱分成 3 份时，总共有 27 块。三面涂色 8 块，两面涂色 12×(3-2)=12 块，一面涂色 6×1×1=6 块，没有涂色 1×1×1=1 块。加起来 8+12+6+1=27，正好等于总数。这也提醒我们：不管怎么切，四类加起来的块数一定等于 n×n×n，可以用它来检查自己算得对不对。
最容易错的地方有三个。第一，三面涂色永远是 8 块，因为它永远只在 8 个顶点上，别再拿 n 去乘一遍。第二，算两面涂色和一面涂色时，一定要先把两头的顶点去掉，记住用的是 (n-2)，不是 n。第三，题目问"至少有一面涂色"时，指的是除了最里面那一堆以外的全部，用总数减去没有涂色的部分最省事，别只算三面涂色的那 8 块。另外还有两个特殊情况要单独想：每条棱只分成 2 份时，里面就没有藏着的方块了；只分成 1 份时，那还是原来完整的一大块，六个面全都有颜色。