🎧 听讲解
先听一遍知识点讲解，再做下面的题～（音频只讲解，不含答案）
📘 今日知识点
数学里有两样东西，一样是"数"，一样是"形"。平常我们做计算，只用数；画图形，只看形状。今天要学一种特别有用的想法——数形结合：把一串看不见的数的规律，画成一个看得见的图形；反过来，也能把一个图形，读成一个算式。有时候一个数怎么也想不明白的题，画出来反而一眼就懂。
先看第一串算式。请你先在纸上摆 1 个点，它就是一个边长是 1 的小正方形，所以 1 = 1 × 1。接着在它的右边和下边"拐一个直角弯"，像英文字母 L 那样围上一圈，这一圈正好是 3 个点，于是一共 4 个点，排成了一个边长是 2 的正方形，也就是 1 + 3 = 4 = 2 × 2。再照着同样的办法，在外面又围一圈，这一圈是 5 个点，一共 9 个点，排成边长是 3 的正方形，也就是 1 + 3 + 5 = 9 = 3 × 3。再来一圈是 7 个点，一共 16 个点，边长是 4，也就是 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 × 4。
看出门道了吗？每次多围一圈，新加上的点数正好是接下来那个奇数；围出来的始终是一个更大的正方形。 所以得出第一条结论：从 1 开始的连续奇数相加，和就等于"个数 × 个数"，也就是个数的平方。 这里有两个词必须卡死——"从 1 开始"和"连续"，少了哪一个，这个办法都不能直接用。
用这个办法，最要紧的一步是数清个数。一个一个掰手指头数当然行，但数多了容易错。有个更快的方法：看这串数里最后一个数，用（最后一个数 + 1）÷ 2 就能算出个数。比如最后一个数是 7，（7 + 1）÷ 2 = 4，一共 4 个数，和就是 4 × 4 = 16，和前面画出来的一模一样。为什么能这么算？因为第 1 个奇数是 1，第 2 个是 3，第 3 个是 5……第几个奇数就等于"2 × 几减 1"，所以把最后一个数加 1 再除以 2，正好倒推出它是第几个。
再看第二串算式，这次是分数。拿一个正方形当成整体"1"，先取走它的一半，也就是二分之一；再把剩下的一半取走一半，也就是四分之一，两次一共取走了四分之三。接着再取剩下部分的一半，是八分之一，三次一共取走了八分之七。你会发现一件事：每一次取走的，都是"剩下那一块的一半"，所以剩下的那一小块，永远和刚刚取走的那一块一样大。
照这个理儿，就得出第二条结论：这样一半一半地加下去，和永远等于 1 减去最后加的那一个数。 加到最后一块是八分之一时，和就是 1 减八分之一，等于八分之七，和前面算的一样。而且只要加的次数是有限的，最后总会剩下那么一小块没取走，所以和会越来越接近 1，却永远到不了 1。要是想真的等于 1，就得一直加下去、加个没完，那时候才谈得上"刚好是整个正方形"。
容易出错的地方有三个。第一个，拿到一串奇数就直接去数个数求平方，忘了先检查它是不是从 1 开始、中间有没有跳号。 只要开头不是 1，或者中间缺了一个数，围出来的就不是完整的大正方形，直接套规律一定错。第二个，数错了个数，一串数越长越容易数漏，老老实实用（最后一个数 + 1）÷ 2 去算最稳当。第三个，分数求和不看图，硬去通分，数字越通越大，算得又慢又容易错；记住"和等于 1 减去最后那一块"，一句话就能口算出来。